Propiedades
principales de la esperanza:
- Si
- Si
Algunos ejemplos de
cálculo.
Ley de Bernoulli
Ley binomial: si son
independientes y siguen leyes de Bernoulli de parámetro, entonces sigue
la ley. Por linealidad de la esperanza tenemos: Este valor
corresponde con el orden de magnitud esperado del número de éxitos en n tentativas
si la probabilidad de éxito es p
Ley geométrica
El número de veces
que se ejecuta un lazo con la salida del lazo determinada por un test aleatorio
(con probabilidad de salida), sigue la ley. El número medio de veces que se
ejecuta el lazo. En N repeticiones, el orden de magnitud de pases
Ley de Poisson:
El uso de la palabra esperanza se justifica plenamente en el caso de una
ganancia aleatoria.
Ley uniforme : (Punto medio del segmento).
Ley uniforme : (Punto medio del segmento).
Ley exponencial : (integración por partes).
Ley normal : (función
impar).
Ley de Cauchy.
Frecuentemente se encuentra el problema de calcular la esperanza de una
variable aleatoria que se expresa como función de otra variable aleatoria, cuya
ley es conocida. Una primera solución consiste en determinar la ley de Y para después
calcular su esperanza.
Sea conjunto vacío una
función de R en R.
1.Sea X una variable aleatoria discreta,
que toma los valores. La variable aleatoria admite una
esperanza si y sólo si la serie converge.
2.Sea X una variable aleatoria continua, de
densidad FX. La variable
aleatoria admite una esperanza si y sólo si la integral converge.
Ejemplos médicos de esperanza:
- Un portador de tuberculosis tiene un 10% de posibilidades de trasmitir la enfermedad a alguien que no ha estado expuesto a ella. Durante un día entra en contacto con nueve de tales personas. Calcular: a) la esperanza de personas a las que se les trasmite la enfermedad. Solución: a) 0.9
La probabilidad de que un enfermo reaccione desfavorablemente después de
aplicarle un calmante es 0.01. Si dicho calmante se le aplica a 200 personas,
determinar a) Esperanza. Solución: a) 2
Propiedades principales de la varianza
Si X e Y son independientes.
La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traduce la idea intuitiva que los valores que toma X se separan menos de EX según VarX es más pequeña. El caso extremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor
Propiedades principales de la varianza
Si X e Y son independientes.
La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traduce la idea intuitiva que los valores que toma X se separan menos de EX según VarX es más pequeña. El caso extremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor
- sea X una variable aleatoria que admite una varianza. Entonces, para todo E mayor que 0.
Ley de Bernoulli
Ley binomial suma de Bernoullis
independientes
Ley uniforme
Ley exponencial
Ley geométrica
Ley de Poisson
Ley de Poisson
Ley normal
Ejemplos médicos de
varianza:
- En una clase de Anatomía hemos medido la altura de los 25 alumnos. Sus medidas, en cm, se reflejan en la siguiente tabla agrupados en intervalos:
Alturas N
de alumnos
150,155 3
155,160 7
160,165 6
165,170 4
170,175 5
Calcula la varianza
Solución: Varianza = 42,96
- En un examen de histología los 30 alumnos de la clase han obtenido las puntuaciones recogidas en la siguiente tabla:
Calificaciones N de alumnos
0,1 2
1,2 2
2,3 3
3,4 6
4,5 7
5,6 6
6,7 1
7,8 1
8,9 1
9,10 1
Hallar la varianza
Solución:
Varianza = 4,23
Propiedades de la desviación estándar:
1 La desviación
típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso
de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si
a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación
típica no varía.
3 Si
todos los valores de la variable se multiplican por
un número la desviación típica queda multiplicada por
dicho número.
4 Si
tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos
sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación
típica total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño
Si las muestras tienen distinto tamaño
Ejemplos médicos de desviación estándar
- Se sabe que la concentración media de NH3 en sangre venosa de individuos sanos en una distribución normal es de 110 mgr/mm y que la concentración de NH3 del 99% de los individuos se encuentra entre 85 y 135 mgr/mm. Calcular:
a)
La desviación estándar de la distribución. Solución:
a) 9.701
- Si se clasifican los cráneos en dodicacéfalos cuando el índice longitud-anchura es menor que 75, mesocéfalos si está entre 75 y 80, y branquicéfalos si es superior a 80. Hallar la desviación estándar de una serie en la que el 65% son dodicacéfalos, el 34% mesocéfalos y el 1% branquicéfalos. Suponiendo que la distribución es normal. Solución: 2.56
