Principales propiedades de la esperanza varianza y desviación estándar

Propiedades principales de la esperanza:

1. Si   e   admiten una esperanza.
2. Si   e   son independientes y admiten una esperanza.

Algunos ejemplos de cálculo.

Ley de Bernoulli 

Ley binomial: si  son independientes y siguen leyes de Bernoulli de parámetro, entonces  sigue la ley. Por linealidad de la esperanza tenemos: Este valor corresponde con el orden de magnitud esperado del número de éxitos en n tentativas si la probabilidad de éxito es p

Ley geométrica

El número de veces que se ejecuta un lazo con la salida del lazo determinada por un test aleatorio (con probabilidad de salida), sigue la ley. El número medio de veces que se ejecuta el lazo. En N repeticiones, el orden de magnitud de pases

Ley de Poisson: 

El uso de la palabra esperanza se justifica plenamente en el caso de una ganancia aleatoria.
Ley uniforme  : (Punto medio del segmento).

Ley exponencial  : (integración por partes).

Ley normal  : (función impar).

            Ley de Cauchy.

   

         Frecuentemente se encuentra el problema de calcular la esperanza de una variable aleatoria que se expresa como función de otra variable aleatoria, cuya ley es conocida. Una primera solución consiste en determinar la ley de Y para después calcular su esperanza.

  Sea conjunto vacío  una función de R en R.

1.Sea X  una variable aleatoria discreta, que toma los valores. La variable aleatoria  admite una esperanza si y sólo si la serie converge.

2.Sea X una variable aleatoria continua, de densidad FX. La variable aleatoria  admite una esperanza si y sólo si la integral converge. 

Ejemplos médicos de esperanza:

• Un portador de tuberculosis tiene un 10% de posibilidades de trasmitir la enfermedad a alguien que no ha estado expuesto a ella. Durante un día entra en contacto con nueve de tales personas. Calcular: a) la esperanza de personas a las que se les trasmite la enfermedad. Solución: a) 0.9

La probabilidad de que un enfermo reaccione desfavorablemente después de aplicarle un calmante es 0.01. Si dicho calmante se le aplica a 200 personas, determinar a) Esperanza. Solución: a) 2

Propiedades principales de la varianza
Si X e Y son independientes.
La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traduce la idea intuitiva que los valores que toma X se separan menos de EX según VarX es más pequeña. El caso extremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor

• sea X una variable aleatoria que admite una varianza. Entonces, para todo E mayor que 0.

   Algunos ejemplos de cálculos de la varianza.

Ley de Bernoulli

Ley binomial suma de Bernoullis independientes

Ley geométrica  
Ley de Poisson 

Ley uniforme

Ley exponencial 

Ley normal

Ejemplos médicos de varianza:

•    En una clase de Anatomía hemos medido la altura de los 25 alumnos. Sus medidas, en cm, se reflejan en la siguiente tabla agrupados en intervalos:

Alturas           N de alumnos

150,155         3

155,160         7

160,165         6

165,170         4

170,175         5

Calcula la varianza

Solución: Varianza = 42,96

•  En un examen de histología los 30 alumnos de la clase han obtenido las puntuaciones recogidas en la siguiente tabla:

Calificaciones         N de alumnos

0,1                              2

1,2                              2

2,3                              3

3,4                              6

4,5                              7

5,6                              6

6,7                              1

7,8                              1

8,9                              1

9,10                            1

Hallar la varianza

Solución:

Varianza = 4,23       

Propiedades de la desviación estándar:

1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño

Si las muestras tienen distinto tamaño

Ejemplos médicos  de desviación estándar 

•  Se sabe que la concentración media de NH3 en sangre venosa de individuos sanos en una distribución normal es de 110 mgr/mm y que la concentración de NH3 del 99% de los individuos se encuentra entre 85 y 135 mgr/mm. Calcular:

a) La desviación estándar de la distribución. Solución: a) 9.701

• Si se clasifican los cráneos en dodicacéfalos cuando el índice longitud-anchura es menor que 75, mesocéfalos si está entre 75 y 80, y branquicéfalos si es superior a 80. Hallar la desviación estándar de una serie en la que el 65% son dodicacéfalos, el 34% mesocéfalos y el 1% branquicéfalos. Suponiendo que la distribución es normal. Solución: 2.56

Por qué y para qué utilizar las distribuciones de probabilidad en ciencias de la salud

 Las distribuciones de probabilidad son importantes en muchos ámbitos de la vida diaria y en especial en el sector salud  por qué se pueden utilizar para representar  diversas variables, como los caracteres fisiológicos y morfológicos de individuos: altura, peso o longevidad, atributos sociológicos, psicológicos y, en general, variables que vienen determinadas por muchos factores, se distribuyen según el modelo de la curva normal.

Ejemplo medico:

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años?,Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en el paciente,  ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años?

La variable aleatoria tiempo de vida del marcapasos sigue una distribución exponencial de parámetro lambda =1/16=  0,0625

Resultados:

Cálculos de probabilidades. Distribuciones continuas

Exponencial lambda

Lambda: tasa=         0,0625

Punto X         =          20.0000

Cola izquierda=       0,7135

Cola derecha=         0,2865

La probabilidad de que tenga que implantar otro marcapasos antes de los 20 años se sitúa en un entorno a 0,71.

Teniendo en cuenta la propiedad de falta de memoria de la exponencial, la probabilidad de tener que cambiar antes de 25 años un marcapasos que lleva funcionando 5 es igual a la probabilidad de cambio a los 20 años.

PROBLEMA DE SALUD APLICANDO LA PROBABILIDAD

En el INSTITUTO AUTÓNOMO HOSPITAL UNIVERSITARIO DE LOS ANDES (IAHULA). Por larga experiencia se ha determinado que la meningitis por salmonela, enfermedad rara pero muy 

grave en los lactantes, produce una mortalidad aproximada del 60% aún cuando sean tratados con 

cloranfenicol, seguido de tetraciclinas.

En el hospital ingresaron 16 niños lactantes atacados por la 

enfermedad, en un brote epidémico en la ciudad. Se quiere saber la probabilidad de que: 

a) Sobrevivan más de la mitad

b) Sobrevivan todos 

c) Mueran todos 

d) El número de supervivientes esté comprendido entre 6 y 10, incluidos estos extremos. 

Solución:

·a)0.142  es la probabilidad que sobrevivan más de la mitad

·b) 0.000000429 es la probabilidad que sobrevivan todos 

·c) 0.000282 es la probabilidad que mueran todos

·d) 0.652 es la probabilidad de que el número de supervivientes esté comprendido entre 6 y 10, incluidos estos extremos. 

Una herramienta muy importante y útil, la probabilidad en el área de la salud

  

    La probabilidad es una estrategia mediante la cual se intenta estimar la frecuencia con la que se obtiene un cierto resultado en el marco de una experiencia en la que se conocen todos los resultados posibles.

     La importancia de la probabilidad radica en que, es una herramienta muy útil para los profesionales en la salud, no solo para tener fundamentos  acerca de enfermedades, sino que también  sirve para llevar un control de enfermedades de cualquier tipo y la frecuencia con la que se presentan, para a su vez prevenirlas. También mide la eficacia de los fármacos y factores de riesgo de los mismos.

       Los profesionales de la salud siempre buscan lo mejor para sus pacientes, así que necesitan una información clara, verdadera y justificada que los guíe por el camino correcto, al momento de escoger el tratamiento indicado para una enfermedad, reconocer los síntomas característicos de patologías, para así encontrarles cura e identificar el porqué de las enfermedades.

      Todo esto se logra gracias al uso de la probabilidad, porque es una herramienta que permite analizar datos verdaderos, que se obtienen de un proceso de estudio comparativo y de esta manera podemos escoger lo mejor para los pacientes, satisfaciendo sus necesidades, para ayudar y promover la calidad de vida de los seres humanos.