Principales propiedades de la esperanza varianza y desviación estándar

Propiedades principales de la esperanza:

1. Si   e   admiten una esperanza.
2. Si   e   son independientes y admiten una esperanza.

Algunos ejemplos de cálculo.

Ley de Bernoulli 

Ley binomial: si  son independientes y siguen leyes de Bernoulli de parámetro, entonces  sigue la ley. Por linealidad de la esperanza tenemos: Este valor corresponde con el orden de magnitud esperado del número de éxitos en n tentativas si la probabilidad de éxito es p

Ley geométrica

El número de veces que se ejecuta un lazo con la salida del lazo determinada por un test aleatorio (con probabilidad de salida), sigue la ley. El número medio de veces que se ejecuta el lazo. En N repeticiones, el orden de magnitud de pases

Ley de Poisson: 

El uso de la palabra esperanza se justifica plenamente en el caso de una ganancia aleatoria.
Ley uniforme  : (Punto medio del segmento).

Ley exponencial  : (integración por partes).

Ley normal  : (función impar).

            Ley de Cauchy.

   

         Frecuentemente se encuentra el problema de calcular la esperanza de una variable aleatoria que se expresa como función de otra variable aleatoria, cuya ley es conocida. Una primera solución consiste en determinar la ley de Y para después calcular su esperanza.

  Sea conjunto vacío  una función de R en R.

1.Sea X  una variable aleatoria discreta, que toma los valores. La variable aleatoria  admite una esperanza si y sólo si la serie converge.

2.Sea X una variable aleatoria continua, de densidad FX. La variable aleatoria  admite una esperanza si y sólo si la integral converge. 

Ejemplos médicos de esperanza:

• Un portador de tuberculosis tiene un 10% de posibilidades de trasmitir la enfermedad a alguien que no ha estado expuesto a ella. Durante un día entra en contacto con nueve de tales personas. Calcular: a) la esperanza de personas a las que se les trasmite la enfermedad. Solución: a) 0.9

La probabilidad de que un enfermo reaccione desfavorablemente después de aplicarle un calmante es 0.01. Si dicho calmante se le aplica a 200 personas, determinar a) Esperanza. Solución: a) 2

Propiedades principales de la varianza
Si X e Y son independientes.
La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traduce la idea intuitiva que los valores que toma X se separan menos de EX según VarX es más pequeña. El caso extremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor

• sea X una variable aleatoria que admite una varianza. Entonces, para todo E mayor que 0.

   Algunos ejemplos de cálculos de la varianza.

Ley de Bernoulli

Ley binomial suma de Bernoullis independientes

Ley geométrica  
Ley de Poisson 

Ley uniforme

Ley exponencial 

Ley normal

Ejemplos médicos de varianza:

•    En una clase de Anatomía hemos medido la altura de los 25 alumnos. Sus medidas, en cm, se reflejan en la siguiente tabla agrupados en intervalos:

Alturas           N de alumnos

150,155         3

155,160         7

160,165         6

165,170         4

170,175         5

Calcula la varianza

Solución: Varianza = 42,96

•  En un examen de histología los 30 alumnos de la clase han obtenido las puntuaciones recogidas en la siguiente tabla:

Calificaciones         N de alumnos

0,1                              2

1,2                              2

2,3                              3

3,4                              6

4,5                              7

5,6                              6

6,7                              1

7,8                              1

8,9                              1

9,10                            1

Hallar la varianza

Solución:

Varianza = 4,23       

Propiedades de la desviación estándar:

1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño

Si las muestras tienen distinto tamaño

Ejemplos médicos  de desviación estándar 

•  Se sabe que la concentración media de NH3 en sangre venosa de individuos sanos en una distribución normal es de 110 mgr/mm y que la concentración de NH3 del 99% de los individuos se encuentra entre 85 y 135 mgr/mm. Calcular:

a) La desviación estándar de la distribución. Solución: a) 9.701

• Si se clasifican los cráneos en dodicacéfalos cuando el índice longitud-anchura es menor que 75, mesocéfalos si está entre 75 y 80, y branquicéfalos si es superior a 80. Hallar la desviación estándar de una serie en la que el 65% son dodicacéfalos, el 34% mesocéfalos y el 1% branquicéfalos. Suponiendo que la distribución es normal. Solución: 2.56